Sondaggio: Argomento utile?
NO
SI
[Mostra risultato]
 
Note: questo è un sondaggio pubblico, gli altri utenti possono vedere cosa hai votato.
Valutazione discussione:
  • 0 voto(i) - 0 media
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Stima della covarianza tra due grandezze
#1
Big Grin 
Dopo aver cercato di introdurre il calcolo dell'incertezza di misura e la propagazione dell'incertezza, ho pensato che potesse essere utile anche parlare della stima della covarianza tra due grandezze; a tal proposito condivido questo argomento con le solite raccomandazioni: criticate gente Big Grin

La stima della covarianza tra due variabili aleatorie è una stima analitica ed è possibile nel caso in cui le due grandezze sono state ottenute con metodi di lettura ripetute.
Immaginiamo di avere effettuato N misure della varabile x(xj1,xj2,…xjN) di questo set di misure è possibile calcolare la media, la scarto quadratico medio e lo scarto quadratico medio della media; stessa cosa per  la variabile x(xk1,xk2,…xkN); la stima della covarianza delle medie empiriche può essere ottenuta mediante la formula riportata in allegato (Formule stima covarianza)

Supponendo di avere media nulla, ciò che accade è quello di sommare le due grandezze man mano che le stiamo acquisendo, se otteniamo un valore di correlazione grande e positivo significa che entrambe le variabili stanno crescendo, se invece tutte le grandezze sono negative verrà ancora un valore positivo, se invece ho un andamento “oscillante”  delle due grandezze allora alla fine avrò una covarianza della media empirica prossima allo zero e quindi le grandezze sono tra loro scorrelate.

Andiamo ad evidenziare un problema e ci chiediamo: tutti gli stimatori empirici impiegati sono significativi ai fini del processo misura? 
Nel senso che le formule che abbiamo utilizzato sono corrette, ma ci chiediamo se sono “significative” per i nostri scopi.

Rispondere a questa domanda non è semplice perché dovremmo conoscere bene tutti i fenomeni che entrano in gioco nel processo misura e questa conoscenza non è per nulla semplice.

Proviamo a dare una risposta, considerando un set di N osservazioni ripetute di una data grandezza x(xj1,xj2,…xjN) e ci chiediamo se queste N letture sono statisticamente indipendenti, non è facile rispondere a questa domanda, lo ribadisco, perché nell’atto della misura sono sottintesi molti fenomeni fisici.

Rappresentiamo le N misure della nostra variabile attraverso un grafico temporale (In allegato), ciò che notiamo dal grafico è che l’andamento delle misure è compreso in una fascia dovuta al rumore e che esiste una deriva, tutto ciò lo notiamo graficamente!
Il misurando sta cambiando nel tempo, probabilmente, quindi se vado a calcolare la media, questa è riferita all’ intervallo temporale di osservazione, e anche lo scarto quadratico medio, che ci permette di arrivare all’ incertezza tipo, quanto vale?
Anch’ esso è riferito al tempo di osservazione e quindi più questo cresce più cresce lo scarto tipo. 

Bisogna stare molto attenti ad utilizzare gli strumenti statistici visti, perché da questo esempio capiamo bene che si può incorrere in un errore molto grave nella valutazione di incertezza e assegnare l’incertezza a qualcosa che con essa non ha nulla a che vedere, ovvero la deriva, che è una forma di incertezza! 

Guardiamo un altro esempio, dal grafico riportato in allegato (Fluttuazione grandezza di influenza) si nota che l’andamento delle mie misurazioni ha un forma di tipo parabolico, come interpreto? 
Posso pensare che una grandezza di influenza sta cambiando in modo parabolico e che nel suo andamento verso il massimo si sovrappone alla mia grandezza andando poi a completare la curva, quindi stiamo ancora analizzando un fenomeno che non è analizzabile con le tecniche probabilistiche perché qui c'è un effetto deterministico legato alle grandezze di influenza, e se non stiamo attenti avremo dei risultati completamente sbagliati. 

L’ultimo esempio grafico  (Allegato stimatori empirici) che vediamo è rincuorante, almeno in prima osservazione, perché dall' osservazione si intuisce che ho un errore casuale; questo perché non vi è nulla che ci fa pensare ad una deriva e quindi è possibile calcolare il valor medio relativo, però, sempre all’ intervallo temporale di osservazione, ma è probabile che se avessi aumentato l’intervallo di osservazione avrei evidenziano per esempio un andamento parabolico o un'altra cosa.

Questi esempi evidenziano solo il problema, non ci danno metodi o risposte,  ovviamente chi è esperto nel fare le misure, produce un ragionamento di volta in volta consistente che gli permette di ottenere un risultato veritiero.
Cioè in altre parole ogni volta che si utilizza il metodo probabilistico non bisogna dare nulla per scontato.

Una volta evidenziato il problema cerchiamo di capire come poter ragionare, o almeno ci proviamo.

Facciamo un esempio per capire come poter ragionare.

Immaginiamo di avere una grandezza e di questa grandezza effettuiamo N=20 osservazioni, le riportiamo in un grafico e per esempio ciò che otteniamo lo possiamo osservare nell'allegato riportato di seguito (Grandezza X misurata con metodo a letture ripetute).
Notiamo che non appaiono ne derive ne fluttuazioni e quindi procediamo senza considerare le correlazioni tra diverse grandezze, ovvero cosa stiamo dicendo?
Stiamo dicendo che il modello rappresentativo del nostro processo casuale osservato è costituito dalla grandezza che stiamo cercando X ̅  (X media) e da un rumore casuale ni  che ipotizziamo a media nulla e senza correlazione quindi scriviamo Xi=X ̅ + ni .
Effettuiamo i calcoli per l'incertezza di tipo A e cioè calcoliamo la media e poi calcoliamo l’incertezza tipo, lo scarto quadratico medio e quelli per l'incertezza B come riportato in allegato (Calcoli incertezza).

Per il calcolo della componente di tipo B, visto che ciascuna lettura è caratterizzata da una propria incertezza, quindi ad esempio il costruttore ci da l’incertezza strumentale δXi, ci ricaviamo lo scarto tipo come riportato nel suddetto allegato (radice di tre perché stiamo ipotizzando una distribuzione rettangolare) e per la media? 

Per calcolare la media possiamo ricondurci ad un metodo di misurazione indiretto utilizzando la formula presente nel solito allegato e se ipotizziamo che il rumore sia nullo ni=0 allora possiamo pensare che la correlazione tra Xi e Xj sia pari a 1 (cioè massima) perché abbiamo effettuato le misure con lo stesso strumento nello stesso istante e quindi la covarianza è u(Xi,Xj)=u(Xi)*u(Xj) e che quindi possiamo utilizzare la formula semplificata riportata in allegato.

Notiamo che questo significa che l’operazione di media non riduce un effetto sistematico quindi non abbiamo nessun miglioramento come ci si aspetta in questi casi.

A questo punto combiniamo l'incertezza di tipo A e di tipo B e quindi lo scarto tipo. 

Notiamo che: in un caso abbiamo ottenuto una riduzione perché abbiamo ipotizzato che i rumori erano scorrelati, nell’altro caso abbiamo ipotizzato un coefficiente di correlazione pari a 1 essendo lo strumento sempre lo stesso.

Come calcoliamo adesso l’intervallo di fiducia?

Per farlo bisognerebbe ipotizzare una distribuzione di probabilità per la variabile aleatoria y cioè del risultato indiretto che noi non conosciamo; è un calcolo complicato. 

Di solito si usa il teorema del limite centrale il quale dice che se prendo tante variabile aleatorie e le combino insieme; per semplicità diciamo le sommo, qualunque sia la distribuzione delle variabili aleatorie, se sono un numero sufficiente, la distribuzione della somma della combinazione di queste variabili tende ad una distribuzione di tipo gaussiano, per cui lo scarto quadratico medio e l’incertezza tipo che abbiamo ottenuto possiamo farlo diventare un intervallo di confidenza dando le regole del sistema gaussiano.

Nei casi in cui però non sono tantissime le grandezze che mettiamo assieme, il teorema del limite centrale non si può utilizzare, in questo caso vengono utilizzate altre tecniche che attualmente sono in divenire. 

Una metodologia consiste nel calcolarsi simulando la forma della distribuzione di probabilità effettuando una propagazione per via numerica come per esempio il metodo Montecarlo che presenta però problemi relativi ad operazioni decisionali, perché quando per la simulazione devono essere impiegati blocchi if (decidere se una grandezza è più grande o più piccola di un'altra o simili) il metodo Montecarlo può dare risultati critici; allora in questo caso si utilizza un'altro metodo basato sulle variabili fuzzy che cambia totalmente il modo di pensare ed è un metodo complesso. Di questi ultimi due approcci non ci sono ancora normative disponibili quindi i metodi visti in precedenza sono ancora quelli largamente utilizzati.


Allegati
.pdf   Formule stima covarianza.pdf (Dimensione: 332.17 KB / Download: 19)
.pdf   Deriva del misurando.pdf (Dimensione: 100.39 KB / Download: 30)
.pdf   Fluttuazione grandezza di influenza.pdf (Dimensione: 133.4 KB / Download: 20)
.pdf   Stimatori empirici.pdf (Dimensione: 120.53 KB / Download: 16)
.pdf   Grandezza X misurata con metodo a letture ripetute.pdf (Dimensione: 93.97 KB / Download: 28)
.pdf   Calcoli incertezza.pdf (Dimensione: 152.6 KB / Download: 40)
.pdf   Incertezza strumentale.pdf (Dimensione: 113.48 KB / Download: 37)
Cita messaggio


Vai al forum:


Utenti che stanno guardando questa discussione: 1 Ospite(i)