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Come combinare le incertezze di tipo A e di tipo B: Propagazione dell'incertezza.
#1
Come combinare le incertezze di tipo A e di tipo B: Propagazione dell'incertezza.


Questo argomento è strettamente correlato alla discussione: Come calcolare l'incertezza di misura presente al seguente link: http://www.misurando.org/forum/T-come-calcolare-l-incertezza-di-misura, nel quale, tra gli altri argomenti, si è parlato di incertezze di tipo A e di tipo B.
In questa sezione ci concentriamo sulla propagazione dell'incertezza, e per farlo ci riconduciamo alle variabili aleatorie, dicendo che se queste sono statisticamente indipendenti le varianze ad esse associate sono sommate per ottenere la varianza totale della variabile aleatoria somma delle due. 
Ma che significa dire che due variabili aleatorie sono statisticamente indipendenti?
Per capirlo in maniera semplice, a livello concettuale direi (perché in maniera approfondita ci vorrebbe un corso di statistica) dire che due variabili sono statisticamente indipendenti significa dire che se le variazioni di una variabile aleatoria non incide sulle variazioni dell' altra, allora le due variabili sono statisticamente indipendenti.
Quindi con questa estrema spiegazione semplificata, per combinare l'incertezze stimate con i metodi di categoria A e di categoria B basta riferirsi alla formula riportata nell' allegato Formule propagazione dell'incertezza.
Si noti che il pedice c sta per combinata, ovvero la formula ci dà l’incertezza tipo combina.
Quindi a questo punto se consideriamo misure dirette l’incertezza tipo combinata si esprime secondo la formula a seguire presente nell'allegato precedente.
Se invece consideriamo misure indirette Y=f(x1,x2,x3,…,xN), dove con f() si indica la funzione che esprime la grandezza indiretta in funzione delle grandezza direttamente misurata; la stima del misurando, essendo x1,x2,x3,…,xn variabili casuali e applicando il valore x10,x20,x30,…,xN0, otteniamo Y0=f(x10, x20, x30,…, xN0), dopo di che operiamo come fatto in precedenza e cioè, se l’incertezza dovuta ai vari δx sono piccoli rispetto alle altre approssimazioni che facciamo nel calcolo della nostra incertezza, impieghiamo una semplificazione della funzione, utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor, che ci permette di approssimare la funzione nell’ intorno del punto di nostro interesse e cioè (x10, x20, x30,…, xN0) ottenendo così la terza espressione riportata nell'allegato sopra citato; dove δxi è una variazione delle nostre specifiche grandezze, Y(x10,…,xN0 ) è la misura. 
Siccome siamo interessati a conoscere di quanto si scosterà Y in funzione degli scostamenti casuali delle diverse grandezze possiamo scrivere ∆y (vedi allegato) come somma di variabili casuali quindi possiamo dire che se tutte le xi sono statisticamente indipendenti, la varianza della grandezza calcolata indirettamente può essere calcolata secondo l'espressione di uc^2(y) riportata in allegato.
Se le variabili aleatorie non sono indipendenti, in generale dobbiamo tenere conto della variazione che una variabile subisce dalla variazione delle altre e a questo proposito la formula precedente si arricchisce di un altro termine che deve tener conto di questo e cioè del termine con le derivate parziali.( In allegato)
Il termine u(xj,xk) è noto come covarianza delle variabili aleatorie  xj e xk le cui dimensioni sono al quadrato. 
La covarianza è una grandezza che può assumere valori positivi e negativi. Un altro modo più diffuso per esprimere la covarianza è riportato nel solito allegato.
Dove il termine ∁(xj,xk) prende il nome di coefficiente di correlazione ed è un parametro adimensionale, questo termine ha il compito di darci una misura di quanto le due variabili aleatorie siano tra esse correlate ed è un valore compreso tra ±1, quindi se le variazioni di una grandezza non dipendono dalle variazioni delle altre allora sono scorrelate e il coefficiente di correlazione vale zero e questo ci dice che sono indipendenti, se invece vale -1 si dice che le grandezze sono inversamente correlate e +1 le grandezze sono strettamente correlate. Allora possiamo dire che la stima dell’incertezza richiede la stima del coefficiente di correlazione di coppie di variabili aleatorie. Per conoscere questo coefficiente abbiamo necessità di conoscere la relazione fisica che insiste tra le nostre grandezze in misura e come queste interagiscono con gli strumenti di misura. Poiché questo tipo di approccio è complicato bisogna tenere in conto molti aspetti; il calcolo della propagazione degli errori, se non eseguito in maniera corretta può sovrastimare o sottostimare l’incertezza e questo è uno dei punti salienti soggetti a controllo da parte degli ispettori durante la verifica.
In realtà esistono dei modelli semplificati per il calcolo della propagazione dell’incertezza, ma appunto perché sono semplificati devono essere attenzionati in maniera particolare.
Il primo caso è che se le misure (le xj e xk) sono state ottenute in tempi diversi e se sono stati usati strumenti diversi, posso pensare tranquillamente che non ci sia alcuna correlazione allora posso utilizzare la formula relativa a variabili aleatorie indipendenti (presente nell' allegato alla voce Caso variabili indipendenti).
Questo è una semplificazione molto critica, perché?
Supponiamo di avere xj misurata direttamente e supponiamo di avere una grandezza xk che ci è stata fornita da un certificato di taratura, in questa situazione sia ∁(xj,xk) che u(xj,xk)  hanno valore nullo e quindi lo scarto quadratico medio è calcolabile direttamente estraendo la radice quadrata della varianza (si veda allegato).
Ma in realtà una correlazione esiste, anche se minima,  perché se lo strumento che sto usando l’ho mandato a tarare nello stesso centro che mi ha fornito  il certificato che sto usando, il centro di taratura probabilmente ha a sua volta utilizzato uno strumento tarato da un altro centro più attrezzato, e ha usato quello strumento, probabilmente sia per tarare il mio sia per emettere il certificato quindi si ha una correlazione e non sussiste più l’ipotesi di indipendenza, anche se questa correlazione è piccola, concettualmente capiamo che il metodo che stiamo usando è semplificato.
Esiste un altro caso in cui invece si contempla una correlazione molto alta e cioè se le misure xj e xk sono state ricavate utilizzando lo stesso strumento nella stessa portata e se le osservazioni le sto effettuando nelle stesse condizioni ambientali, allora con alta probabilità, la correlazione tra le misure xj e xk è molto alta, ovvero caso estremo per semplificare poniamo il coefficiente di correlazione pari a 1 (∁(xj,xk) = 1), se ciò è vero è vero anche che u(xj,xk) = u(xj)u(xk) questa situazione ci permette di utilizzare la formula presente nell'allegato per il calcolo della varianza.
Se ci soffermiamo un attimo sulla precedente espressione ci accorgiamo che essa rappresenta proprio lo sviluppo del quadrato della formula riportata a seguire sempre nell'allegato.
Bisogna stare attenti ad una cosa, poiché le derivate possono essere sia positive che negative, dall’ espressione dello scarto quadratico medio appena scritta potremmo ottenere anche zero, considerando il caso peggiore che è quello in cui tutte le derivare sono positive la formula può essere modificata ponendo il termine relativo alle derivate in valore assoluto come riportato nell'allegato Formule propagazione dell'incertezza. Che è formalmente uguale a quella utilizzata nel metodo probabilistico e quindi con correlazione unitaria non c’è più bisogno di utilizzare il metodo probabilistico.


Allegati
.pdf   Formule propagazione dell'incertezza.pdf (Dimensione: 140.99 KB / Download: 153)
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#2
Buongiorno,
faccio parte di questo gruppo da poco tempo e nel leggere i diversi argomenti del forum mi sono imbattuto in questa trattazione. Colgo l'occasione per avere un chiarimento a riguardo, sebbene sia passato quasi un anno.
In merito ad un mio lavoro di tesi di laurea ho a che fare con un impianto di termo-valorizzazione di rifiuti da cui viene prodotto calore ed elettricità. Tra le molte cose che ho approfondito c'è stata anche l'analisi di sensitività dell'impianto per determinare i fattori d'influenza di alcune grandezze d'interesse (rendimento elettrico dell'impianto ad esempio). L'analisi di sensitività si presta molto bene anche per quello che è un discorso di incertezza con cui esprimere un risultato finale di particolare interesse (sempre rendimento elettrico ad esempio).
Dopo aver individuato le variabili di input, ossia le variabili indipendenti del generico modello,[ rendimento = F(fumi camino, aria preriscaldo, portata vapore.. etc..)], ho applicato l'espressione per la propagazione dell'incertezza di misura, calcolando le derivate o i coefficienti di sensitività e attribuendo dei valori ragionevoli di incertezza per i diversi input di mio interesse.
La questione/problema in cui mi trovo è il seguente:
ad esempio ho a che fare con la portata di vapore prodotto annualmente. Ho a disposizione i dati orari di produzione di vapore per l'intero anno e, complessivamente, di 400.000 tonnellate di vapore (ad esempio). Non avendo un certificato specifico dello strumento adottato realmente nell'impianto, ho ipotizzato che l'incertezza complessiva del misuratore di portata fosse circa del +/- 0,5 kg/s (dopo alcune consultazioni e dati tipici per misuratori di portata). Per determinare l'incertezza propagata, ossia l'incertezza sulla produzione totale annua di vapore (che è la variabile indipendente che rientra nella definizione di rendimento elettrico), ho applicato la regola della propagazione dell'incertezza, ritenendo proprio come ha scritto lei nel suo approfondimento, che le variabili fossero totalmente correlate tra loro, poiché misurate (seppur in istanti diversi) con lo stesso strumento di misura. Quindi rientrerebbe anche la parte con la sommatoria incrociata.
Con questa ipotesi ottengo l'incertezza massima sulla produzione annua di vapore, poichè è come se considerassi:
M_vapore_anno=F(m1;m2;m3;...;mj) dove j è il numero di ore annue. in questo caso specifico F sarebbe una semplice somma.
Le chiedo: ma in base a cosa è possibile scegliere il coefficiente di correlazione se non si dispongono di dati da cui poterlo calcolare per via analitica?
Infatti io possiedo il valore della portata prodotta di vapore all'ora (tonn/h).
Io l'ho ipotizzato unitario (completa correlazione) ma su quale base posso dirlo ? Poichè, ad esempio, non lo scelgo pari a 0.8?
Ho consultato anche la norma UNI EN 13005 sull'espressione dell'incertezza di misura, ma non son riuscito a trovare una spiegazione,
Spero che sia abbastanza chiaro come problema e sia in grado di fornirmi una sua idea a riguardo.
Probabilmente questa non è la sede adatta per fare queste domande o ricevere spiegazioni, ma non ho trovato da nessun'altra parte delle possibili delucidazioni.
Se magari mi fornisse anche qualche documento dove trattano questo argomento specifico le sarei grato
La ringrazio
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#3
Buonasera a tutti.
Lavoro in un'azienda metalmeccanica, con strumenti tradizionali per grandezze dimensionali su particolari di acciaio-alluminio. Sono anche io alle prese con la necessità di mettere in pista un file excel che restituisca un risultato di incertezza estesa. Tipicamente i contributi sono : ripetibilità, bias, risoluzione, errori di forma, MPE, temperatura.
Domande : è riduttivo semplificare mettendo i contributi sotto somma quadratica , non avendo possibilità di calcolare il coefficiente di correlazione ? Come gestisco l'incertezza di temperatura ? non tanto tra strumento e misurando quanto lo scostamento dai 20°C nominali (le nostre non sono proprio sale metrologiche....)
Grazie per l'aiuto !!!
D.Lucchin
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#4
(04-06-2016, 18:51)student Ha scritto:  Buonasera a tutti.
Lavoro in un'azienda metalmeccanica, con strumenti tradizionali per grandezze dimensionali su particolari di acciaio-alluminio. Sono anche io alle prese con la necessità di mettere in pista un file excel che restituisca un risultato di incertezza estesa. Tipicamente i contributi sono : ripetibilità, bias, risoluzione, errori di forma, MPE, temperatura.
Domande : è riduttivo semplificare mettendo i contributi sotto somma quadratica , non avendo possibilità di calcolare il coefficiente di correlazione ? Come gestisco l'incertezza di temperatura ? non tanto tra strumento e misurando quanto lo scostamento dai 20°C nominali (le nostre non sono proprio sale metrologiche....)
Grazie per l'aiuto !!!
D.Lucchin

Salve è possibile avere una risposta ? grazie e saluti
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